கதையும் கணிதமும் - தியானா

பூந்தளிர்

ஒரு செல்வ‌ந்த‌ர் ஊரிலுள்ள‌ அனைத்து ம‌க்க‌ளிட‌மும் ப‌ண‌ம் ப‌றிப்பார். ஹீரோ செல்வ‌ந்தரை மதியால் வென்று ம‌க்க‌ளைக் காப்பாற்றுவார். இது இந்த‌ப் ப‌ட‌த்தின் க‌தை, அந்த‌ப் ப‌ட‌த்தின் க‌தை என்று ந‌ம்மால் ப‌ல‌ ப‌டங்க‌ளின் பெய‌ர்க‌ளைச் சொல்ல‌ முடியும். இதுவே தான் One Grain of Rice - யின் க‌தையும். ஆனால் எவ்வாறு ம‌க்க‌ள் காப்பாற்ற‌ப்ப‌டுகின்ற‌ன‌ர் என்ப‌தில் தான் சுவார‌ஸ்ய‌மும் க‌ணித‌மும் பொதிந்திருக்கிற‌து.

இது ஒரு இந்திய‌ கிராமிய‌க் க‌தை. வெகு கால‌த்திற்கு முன் ராஜா ஒருவ‌ர் இந்தியாவை ஆண்டு வ‌ந்தார். அவ‌ர் அர‌சாட்சியிலுள்ள‌ மக்க‌ள் அனைவ‌ரும் வ‌ச‌தி மிகுந்த‌ விவ‌சாயிக‌ள். ம‌க்கள் தாங்க‌ள் விளைவித்த‌ அரிசியை த‌ங்க‌ள் தேவைக்கு எடுத்த‌து போக, மீத‌ம் உள்ள‌தை ராஜாவிட‌ம் கொடுத்து விட‌ வேண்டும். தான் அரிசியை சேமித்து வைத்து, ப‌ஞ்ச‌ம் வ‌ரும் கால‌த்தில் கொடுப்ப‌தாக ராஜா வாக்குறுதி அளித்து, சேமிப்புக் கிட‌ங்குக‌ளை நிறைத்து வைக்கிறார். சில வ‌ருடங்கள் க‌ழித்து, ப‌ஞ்ச‌ம் வ‌ருகிற‌து. ராஜா தான் கொடுத்த‌ வாக்குறுதியைக் காப்பாற்ற‌வில்லை. ம‌க்க‌ள் அனைவ‌ரும் ப‌ஞ்ச‌த்திலும் ப‌ட்டினியிலும் வாடுகின்றன‌ர்.

ஒரு நாள் ராஜா த‌‌ன் ம‌ந்திரி ச‌பைக்கு விருந்து வைக்கிறார். சேமிப்பு கிட‌ங்கிலிருந்து இர‌ண்டு மூட்டைக‌ளில் அரிசியை அர‌ண்ம‌னைக்கு எடுத்து வ‌ருகின்ற‌ன‌ர். வ‌ரும் வ‌ழியில் ஒரு மூட்டையிலிருந்து அரிசி கொட்டுகிற‌து. ராணி என்கிற‌ சிறுமி சிந்தும் அரிசிக‌ளைத் த‌ன் பாவாடையில் பிடித்துக் கொண்டே அர‌ண்ம‌னையை நோக்கி வ‌ருகிறாள். அந்த‌ அறிவாளி சிறுமியின் ம‌ன‌தில் ஒரு திட்ட‌ம் தோன்றுகிற‌து.

அர‌ண்ம‌னை காவலாளியிட‌ம் அரிசிக‌ளை ஒப்படைக்கிறாள். அந்த‌ நேர்மையான‌ சிறுமியை ராஜா ச‌ந்திக்கிறார். நேர்மையைப் பாராட்டி ஏதாவ‌து ப‌ரிசு கேட்கும் ப‌டி சொல்லுகிறார். ஒரே ஒரு அரிசி கேட்கிறாள் ராணி. ஒரே ஒரு அரிசி கொடுப்ப‌து த‌ன் ம‌ரியாதைக்கு இழுக்கு என்கிறார் ராஜா. அப்ப‌டினால், இன்று ஒரு அரிசி கொடுங்க‌ள். அடுத்து வ‌ரும்‌ நாட்க‌ளில் அத‌ற்கு முத‌ல் நாள் கொடுத்த‌ அரிசியை இர‌ட்டிப்பாக்கி கொடுங்க‌ள். இவ்வாறு முப்ப‌து நாட்க‌ள் கொடுங்க‌ள் என்கிறாள். அதாவ‌து இன்று ஒரு அரிசி கொடுங்க‌ள், நாளை அதை இர‌ட்டிப்பாக்கி இர‌ண்டு அரிசிக‌ள் கொடுங்க‌ள், அடுத்த‌ நாள் இர‌ண்டை இர‌ட்டிப்பாக்கி நான்கு அரிசிக‌ள் கொடுங்க‌ள், அத‌ற்கு அடுத்த‌ நாள் நான்கை இர‌ட்டிப்பாக்கி எட்டு அரிசி கொடுங்க‌ள் என்கிறாள். ராஜா பிழைக்க‌த் தெரியாத‌ப் பெண் என்று நினைத்துக் கொண்டே ஒத்துக் கொள்கிறார். ‌

முத‌ல் நாள் ஒரு அரிசி கொடுக்கிறார். இர‌ண்டாவ‌து நாள் இர‌ண்டு அரிசிக‌ள். மூன்றாவ‌து நாள் நான்கு அரிசிக‌ள். நான்காவ‌து நாள் எட்டு அரிசிக‌ள். இவ்வாறே ஒன்பதாவ‌து நாள் 256 அரிசிக‌ள் கொடுக்க‌ப்ப‌டுகின்றன‌. அது ஒரு கைப்பிடி அள‌வு அரிசி. ப‌ன்னிரெண்டாவ‌து நாள் 2048 அரிசிக‌ள் கொடுக்க‌ப்ப‌டுகின்ற‌ன‌. அது நான்கு கைப்பிடி அள‌வு அரிசியாகும். ப‌தினாறாவ‌து நாள் 2 மூடைக‌ளில் 32768 அரிசிக‌ள் கொடுக்க‌ப்ப‌டுகிற‌து. ராஜாவிற்கு ச‌ற்று க‌வ‌லையாகிற‌து.

இருபத்தி நான்காவ‌து நாள் 8388608 அரிசிக‌ள், எட்டுப் பெட்டிக‌ளில் செல்கிற‌து. இறுதி நாளான‌ முப்ப‌தாவ‌து நாளில் 256 யானைக‌ளில் நான்கு சேமிப்புக் கிட‌ங்குக‌ளிலிருந்து அரிசி மூட்டைக‌ள் செல்கின்ற‌ன‌. ராஜாவின் சேமிப்புக் கிட‌ங்குக‌ள் காலியாகி விட்ட‌ன‌.

இவ்வள‌வு அரிசிக‌ளை வைத்து என்ன‌ செய்ய‌ப் போகிறாய் என்று ராஜா கேட்ட‌வுட‌ன், அனைத்து ம‌க்க‌ளுக்கும் கொடுக்க‌ப் போகிறேன் என்கிறாள். த‌ங்க‌ளுக்கும் ஒரு பெட்டி தருகிறேன் ஆனால் இனி நீங்க‌ள் உங்க‌ள் தேவைக்கு அதிக‌மாக‌ ம‌க்க‌ளிட‌மிருந்து வ‌சூலிக்க‌க் கூடாது என்று வாக்குறுதி வாங்கிக் கொள்கிறாள். அத‌ன் பின் ராஜா ந‌ல்லாட்சிப் புரிகிறார்.

ஒவ்வொரு நாளின் அரிசிக‌ள் அள‌வு அட்ட‌வ‌ணையில் உள்ள‌து. ஒரு அரிசி முப்ப‌தாவ‌து நாளில் 53 கோடியாக‌ மாறுவ‌து ஆச்ச‌ரிய‌மாக‌ இருந்த‌து.

க‌தைக‌ளும் புத்த‌கங்க‌ளும் எங்க‌ளுக்கு விருப்ப‌மான‌வை. எங்க‌ள் குழ‌ந்தைக‌ளின் சிறு வ‌ய‌து முத‌லிலேயே புத்த‌க‌ம் ப‌டித்த‌ல் ம‌ற்றும் க‌தை சொல்லுத‌ல் எங்க‌ள் வ‌ழ‌க்க‌ம். என் முத‌ல் குழ‌ந்தைக்கு, அவ‌ளுடைய சிறு வ‌ய‌தில் நான் புத்த‌க‌ம் வாசித்துக் காட்டுவேன் ஆனால் க‌தை கேட்டு வ‌ள‌ர்ந்திராத‌ என‌க்குக் க‌தை செல்லுவ‌தில் ஒரு த‌ய‌க்க‌ம் இருந்த‌து. என் க‌ணவர் தின‌மும் அவ‌ளுக்குக் க‌தை செல்லுவார். இர‌ண்டு வ‌ருட‌த்திற்கு முன்னால் என் க‌ண‌வ‌ருக்கு இர‌வு நேர‌த்தில் வேலை ப‌ளு அதிக‌ரிக்க‌, மகளுக்கு க‌தை சொல்லும் சூழ்நிலைக்குத் த‌ள்ள‌ப்ப‌ட்டேன். என‌க்குத் தெரிந்த‌ க‌தைக‌ள் சொல்ல‌ ஆர‌ம்பித்தேன். சில நாட்க‌ளில் க‌தைக‌ள் தீர்ந்து போக‌, இணைய‌த்திலும் புத்த‌க‌த்திலும் தேடத்‌ தொட‌ங்கினேன். நாங்க‌ள் இருவ‌ரும் சேர்ந்து வாசித்த‌ புத்த‌க‌ங்க‌ளின் க‌தைக‌ளை இர‌வு நேர‌த்தில் அவ‌ளுக்குச் சொல்ல‌க் கூடாது. புதிதாக இருக்க‌ வேண்டும். க‌தைக‌ள் உருவாக்க‌வும் ப‌ழகிக் கொண்டேன். என் ம‌க‌ள் செய்யும் த‌வ‌றுக‌ளைச் சுட்டிக்காட்ட‌, வ‌ருத்த‌த்தைப் போக்க‌ என‌ சூழ்நிலையைக் கொண்டு க‌தைக‌ள் உருவாக்க‌ ஆர‌ம்பித்தேன். க‌தையில் வ‌ருவ‌து தான் தான் என்பது என் ம‌க‌ளுக்கும் தெரியும். ர‌சித்துக் கேட்பாள்.

க‌தைக‌ள் வாசிக்கும் பொழுதும், புத்த‌க‌ம் ப‌டிக்கும் பொழுதும் ந‌டுவில் நிறுத்தி, நீ அந்த‌ச் சூழ்நிலையில் இருந்திருந்தால் என்ன‌ செய்திருப்பாய் என்று கேட்பேன். ப‌தில் வ‌ந்த‌வுடன், இது நல்ல‌ ப‌தில் ஆனால் என்ன‌ ந‌டக்கிறது என்று பார்ப்போம் என்று தொட‌ருவேன். சில‌ நேர‌ங்க‌ளில் சொல்லி/ப‌டித்து முடித்த‌வுட‌னோ அல்ல‌து ம‌றுநாள் எழுந்த‌வுட‌னோ, நான் சொன்ன‌ மாதிரி செய்திருந்தால் இந்த‌ மாதிரி த‌ப்பாகியிருக்கும் என்று அவ‌ளே த‌ன் ப‌தில‌க‌ளிலுள்ள‌ "loop hole"களைக்  க‌ண்டு பிடிப்பாள். வார‌த்திற்கு ஒரு முறை அவ‌ள் என‌க்குக் க‌‌தை சொல்ல‌ வேண்டும், க‌தை ப‌டித்துக் காட்ட‌ வேண்டும்.

புத்த‌க‌ம் ப‌டிக்கும் பொழுது என் மேல் சாய்ந்து கொண்டும், க‌தை சொல்லும் பொழுது என் அருகில் ப‌டுத்துக் கொண்டு என் கைக‌ளைக் கோர்த்துக் கொண்டும் இருப்பாள். ஒரு நாள் இர‌வு க‌தையைத் தொடங்கும் முன் ப‌ள்ளியில் ந‌ட‌ந்தை சொல்ல ஆர‌ம்பிக்க‌, அதுவே சில‌ நிமிட‌ங்க‌ளான‌து. அன்று க‌தை வேண்டாம், பேசிய‌தே போதும் என்று சொல்லிவிட்டாள். தான் வ‌ள‌ர்க்கும் பைய‌னைப் பிரியும் நாய், அவ‌னிட‌ம் வ‌ருவ‌த‌ற்கு அடையும் க‌ஷ்ட‌ங்க‌ளை வாசித்த‌ பொழுது, அவ‌ள் என்னை நெருங்கி அம‌ர்ந்து கொண்ட‌து இன்னும் நினைவில் உள்ள‌து. க‌தை சொல்லும் த‌ருண‌ங்க‌ள் வெறும் க‌தைக்காக‌ ம‌ட்டும‌ல்ல‌. இது எங்க‌ள் இருவ‌ருக்கும் ம‌ட்டுமான‌து என்பதை நாங்க‌ள் உண‌ர்ந்து இருக்கிறோம். அவ‌ள் வ‌ள‌ர‌ வ‌ள‌ர‌ அந்த‌த் த‌ருண‌ங்க‌ள் சுருங்க‌ ஆர‌ம்பிக்க‌லாம். அதுவ‌ரை முடிந்த‌ வ‌ரை இந்த நெருக்கத்தை அனுப‌விக்க‌ விரும்புகிறேன்.

பெற்றோர் குழ‌ந்தைக‌ளின் நெருக்க‌தை அதிக‌ரிக்க‌ச் செய்யும் குழ‌ந்தைக‌ள் க‌தைக‌ள் எழுதும் எழுத்தாள‌ர்க‌ளுக்கு என் ந‌ன்றிக‌ள். இங்கு ப‌திந்திருக்கும் டெமிக்கும் சிற‌ப்பு ந‌ன்றிக‌ள். அவ‌ரின் அனைத்து க‌தைக‌ளும் எங்க‌ளுக்குப் பிடித்த‌மான‌வை. இந்த‌ப் புத்த‌கத்தையும் என் ம‌க‌ளும் விரும்பி மீண்டும் மீண்டும் ப‌டிக்க‌ச் சொன்னாள். குழ‌ந்தைக‌ளைக் க‌வ‌ரும் ப‌டியாக‌ வ‌ண்ண‌ம‌ய‌மான‌ ப‌ட‌ங்க‌ள். இறுதி நாளில் 256 யானைக‌ளின் அணிவ‌குப்பு ம‌டித்த‌ நான்கு ப‌க்க‌ங்க‌ளில் இருக்கின்ற‌ன‌.. நான்கு ப‌க்க‌ங்க‌ளை விரித்த‌வுட‌ன், யானைகளின் பிர‌மாண்ட‌ அணிவ‌குப்பு எளிதில் குழ‌ந்தைக‌ளுக்கு விள‌ங்குகின்ற‌து. ஆனால் எழுத்துக‌ள் இன்னும் பெரிதாக‌ இருந்திருந்தால் குழ‌ந்தைக‌ள் வாசிப்ப‌த‌ற்கு ஏற்ற‌தாக இருந்திருக்கும் என்று தோன்றிய‌து.

புத்தக‌ம் வாசித்துச் சில‌ நாட்க‌ளான நிலையில், சேமிப்பின் ம‌திப்பைச் சொல்லும் நான் உருவாக்கிய‌ க‌தையில் இதே உத்தியை கையாண்டேன். முத‌ல் நாள் ஒரு பைசா சேமிக்க‌ வேண்டும், அடுத்த‌ நாள் இர‌ண்டு பைசா என்ற‌வுட‌ன், என் ஏழு வ‌யது ம‌க‌ள் இந்த‌க் க‌தையின் த‌ழுவ‌ல் என்று க‌ண்டுபிடித்து விட்டாள். ஒரு எளிய‌ க‌தையில் ஒரு அடிப்ப‌டை க‌ணித‌த்தின் வ‌லிமையை விள‌க்கிய‌தில் இந்த‌ப் புத்த‌க‌ம் வெற்றி பெறுகிற‌து. உங்க‌ள் குழ‌ந்தைக்கு வாசித்துக் காட்டும் முன், எப்படி 53 கோடி அரிசிக‌ளை எண்ணினார்க‌ள் என்று உங்க‌ள் குழ‌ந்தைக் கேட்க‌ப் போகும் கேள்விக்குப் ப‌தில் த‌யார் செய்துவிடுங்க‌ள்.

One Grain of Rice: A Mathematical Folk Tale | Demi | Scholastic Press | 40 Pages | இணையத்தில் வாங்க

தியானா, தன் மகள்களுடன் ஈடுபடும் விளையாட்டுக்களை பூந்தளிர் என்ற தளத்தில் தொடர்ந்து பதிப்பித்து வருகிறார்.